Question

已知函數f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函數f（x）的極小值；
（2）設函數g（x）=-cos2x，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，請求出a的范圍，若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=4，得函數f（x）的解析式，求出其導函數以及導數為0的根，通過比較兩根的大小找到函數的單調區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；
（2）若定義域內存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對于某一實數m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數，由此能求出在定義域內不存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．
解答：解：（1）由已知得，xk．Com]
則當0＜x＜1時f'（x）＜0，可得函數f（x）在（0，1）上是減函數，
當x＞1時f′（x）＞0，可得函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，
故函數的極小值為f（1）=2；
（2）若存在，設f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），則對于某一實數m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不同的實數根，設F（x）=f（x）-g（x）-m=2x²-alnx+cos2x-m，
則有兩個不同的零點，即關于x的方程4x²-2xsin2x=a（x＞0）有兩個不同的解G（x）=4x²-2xsin2x（x＞0），
則G'（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
設h（x）=2x-sin2x，則h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則當x＞0時h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，則G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函數，
則a=4x²-2xsin2x（x＞0）至多只有一個解，故不存．
方法二：關于方程的解，
當a≤0時，由方法一知2x＞sin2x，此時方程無解；
當a＞0時，由于，
可以證明是增函數，此方程最多有一個解，故不存在．
點評：本題考查函數的單調區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．