Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O，E分別為B₁D，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OE∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面B₁DC⊥平面B₁DE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）：連接BC₁，設(shè)BC₁∩B₁C=F，連接OF，可證四邊形OEBF是平行四邊形，又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，可證OE∥面BCC₁B₁．
（2）先證明BC₁⊥DC，再證BC₁⊥面B₁DC，而B(niǎo)C₁∥OE，OE⊥面B₁DC，又OE?面B₁DE，從而可證面B₁DC⊥面B₁DE．

解答：
證明：（1）：連接BC₁，設(shè)BC₁∩B₁C=F，連接OF，…2分
因?yàn)镺，F(xiàn)分別是B₁D與B₁C的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥DC，且OF=

1

2

DC，
又E為AB中點(diǎn)，所以EB∥DC，且d₁=1，
從而d2=d3=

3

2

，即四邊形OEBF是平行四邊形，
所以O(shè)E∥BF，…6分
又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，
所以O(shè)E∥面BCC₁B₁．…8分
（2）因?yàn)镈C⊥面BCC₁B₁，BC₁?面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥DC，…10分
又BC₁⊥B₁C，且DC，B₁C?面B₁DC，DC∩B₁C=C，
所以BC₁⊥面B₁DC，…12分
而B(niǎo)C₁∥OE，所以O(shè)E⊥面B₁DC，又OE?面B₁DE，
所以面B₁DC⊥面B₁DE．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面平行的判定，屬于基本知識(shí)的考查．