Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ ，a∈R．
（1）若f（x）的最小值為0，求實數(shù)a的值；
（2）證明：當a=2時，不等式f（x）≥ ﹣e1﹣x恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=alnx+ =alnx+ ，

∴f′（x）= （x＞0）．

當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）的最小值不為0；

當a＞0時，f′（x）= = ．

當x∈（0， ）時，f′（x）＜0；當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0．

∴f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)，

∴ = ，

令g（a）= ，則g′（a）= （a＞0）．

當a∈（0，2）時，g′（a）＞0；當a∈（2，+∞）時，g′（a）＜0，

∴g（a）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，則g（a）max=g（2）=0．

∴f（x）的最小值為0，實數(shù)a的值為2

（2）證明：當a=2時，f（x）=2lnx+ ，x＞1，

令h（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=2lnx+ ，

則h′（x）= = ，

記q（x）=2x2+x﹣2﹣x3e1﹣x，則q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x，

∵x＞1，0＜e1﹣x＜1，

∴當1＜x＜3時，q′（x）＞4x+1+x2（x﹣3）=x3﹣3x2+4x+1＞0，

又∵當x≥3時，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0，

∴當x＞1時，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0恒成立，

∴q（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，q（x）＞q（1）=2+1﹣2﹣1=0，

∴h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h（x）＞h（1）=0+1﹣1﹣1+1=0，即當a=2時，不等式f（x）≥ ﹣e1﹣x恒成立．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分類分析，可知當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）的最小值不為0；當a＞0時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，可得原函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，由最小值為0進一步利用導(dǎo)數(shù)求得a值；（2）通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+ ，問題轉(zhuǎn)化為證明h′（x）＞0恒成立，進而再次構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，整理即得結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．