Question

已知實數(shù)a，b∈R，且2b²+a≤0，則a-b的最大值為

1

8

．

Answer 1

分析：作出不等式2b²+a≤0的平面區(qū)域，表示為拋物線的內(nèi)部，然后設(shè)z=a-b，利用數(shù)形結(jié)合進行求解．

解答：解：設(shè)z=a-b，則b=a-z，
則不等式2b²+a≤0表示的平面區(qū)域為拋物線的內(nèi)部．
平移直線b=a-z，由圖象平移可知，當(dāng)直線b=a-z與拋物線2b²+a=0，相切時，直線b=a-z截距最小，此時z最大．
將b=a-z和2b²+a=0，聯(lián)立消去a得，2b²+b+z=0，
如直線與拋物線相切，則判別式△=1-4×2z=0，解得z=

1

8

．
故a-b的最大值為為

1

8

．
故答案為：

1

8

．

點評：本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為直線和拋物線相切是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．