Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：“如果直線l過點(diǎn)T（3，0），那么=3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)過點(diǎn)T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，
此時(shí)，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A（3，）、B（3，﹣）
∴=3；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣3），其中k≠0，
由得ky²﹣2y﹣6k=0y₁y₂=﹣6
又∵，
∴，
綜上所述，命題“如果直線l過點(diǎn)T（3，0），那么=3”是真命題；
（2）逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn)，
如果=3，那么該直線過點(diǎn)T（3，0）．該命題是假命題．
例如：取拋物線上的點(diǎn)A（2，2），B（，1），此時(shí)=3，
直線AB的方程為：，而T（3，0）不在直線AB上；
說明：由拋物線y²=2x上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足=3，
可得y₁y₂=﹣6，或y₁y₂=2，
如果y₁y₂=﹣6，可證得直線AB過點(diǎn)（3，0）；
如果y₁y₂=2，可證得直線AB過點(diǎn)（﹣1，0），而不過點(diǎn)（3，0）．