Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項與數(shù)列{b_n}的前三項對應(yīng)相同，且a₁+2a₂+2²a₃…+2^n-1a_n=8n對任意的n∈N⁺都成立，數(shù)列{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（III）問是否存在k∈N^*，使f（k）=b_k-a_k∈（0，1）？并說明理由．

Answer 1

解：（I）已知a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n（n∈N^*）①
n≥2時，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）（n∈N^*）②
①-②得2^n-1a_n=8，解得a_n=2^4-n，在①中令n=1，可得a₁=8=2^4-1，
所以a_n=2^4-n（n∈N^*）（4分）
（II）由題意b₁=8，b₂=4，b₃=2，所以b₂-b₁=-4，b₃-b₂=-2，
∴數(shù)列{b_n+1-b_n}的公差為-2-（-4）=2，
∴b_n+1-b_n=-4+（n-1）×2=2n-6，
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n²-7n+14（n∈N^*）、（8分）
（III）b_k-a_k=k²-7k+14-2^4-k，當(dāng)k≥4時，f（k）=（k-）²+-2^4-k單調(diào)遞增，
且f（4）=1，所以k≥4時，f（k）=k²-7k+14-2^4-k≥1．
又f（1）=f（2）=f（3）=0，所以，不存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈（0，1）．（12分）
分析：（I）利用a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n推出n-1時的表達(dá)式，然后作差求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
（II）利用數(shù)列{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列利用累加法求出{b_n}的通項公式；
（III）化簡b_k-a_k=k²-7k+14-2^4-k，通過k≥4時，f（k）=（k-）²+-2^4-k單調(diào)遞增，且f（4）=1，所以k≥4時，f（k）≥1，結(jié)合f（1）=f（2）=f（3）=0，說明不存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈（0，1）．
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．