Question

已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，求橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若M，N是C上關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在，記為k_PM，k_PN，求證：k_PM與k_PN之積為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和求得a，進(jìn)而把A點(diǎn)代入橢圓方程求得b，則c可得，進(jìn)而可求得橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性可求得N的坐標(biāo)，代入橢圓方程設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，則利用斜率公式可分別表示出PM和PN的斜率，求得二者乘積的表達(dá)式，把y²=3-x²，n²=3-m²代入結(jié)果為常數(shù)，原式得證．
解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2．又點(diǎn)A（1，））在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1．所以橢圓C的方程為=1，焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），其中=1．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由k_PM=，k_PN=
得k_PM•k_PN=•=將y²=3-x²，n²=3-m²代入得k_PM•k_PN=
故k_PM與k_PN之積為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)的斜率，橢圓的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析推理和基本的運(yùn)算能力．