Question

在xOy平面上有一點(diǎn)列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=2000()^x(0<a<1)的圖像上，且點(diǎn)P_n,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(1)求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；

(3)設(shè)C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{C_n}前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由.

Answer 1

(1) b_n=2000() ，(2) 5(－1)<a<10， (3)前20項(xiàng)

解析:

(1)由題意知：a_n=n+,∴b_n=2000().

(2)∵函數(shù)y=2000()^x(0<a<10)遞減，

∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有b_n>b_n+1>b_n+2.

則以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n,

即()²+()－1>0,

解得a<－5(1+)或a>5(－1)  ∴5(－1)<a<10.

(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7

∴b_n=2000()  數(shù)列{b_n}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，

對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,B_n=b_nB_n－1.

于是當(dāng)b_n≥1時(shí)，B_n<B_n－1,當(dāng)b_n<1時(shí)，B_n≤B_n－1,

因此數(shù)列{B_n}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式b_n≥1且b_n+1<1,

由b_n=2000()≥1得： n≤20.8.  ∴n=20.