已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-
2xx+1
+b的圖象與直線x+y-2=0
相切于點(diǎn)(0,c).
求:
(1)實(shí)數(shù)a的值;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值.
分析:(1)由f′(x)=
a
x+1
-
2
(x+1)2
和f(x)在x=0處的切線方程為y=-x+2,能求出a.
(2)由點(diǎn)(0,c)在直線x+y-2=0上,推導(dǎo)出c=2,由點(diǎn)(0,2)在f(x)=aln(x+1)-
2x
x+1
+b
的圖象上,推導(dǎo)出b=2,由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值.
解答:解:(1)∵f(x)=aln(x+1)-
2x
x+1
+b

f′(x)=
a
x+1
-
2
(x+1)2

∵f(x)在x=0處的切線方程為y=-x+2,
∴f'(0)=a-2=-1,即a=1
(2)∵點(diǎn)(0,c)在直線x+y-2=0上,
∴c-2=0,即c=2,
∵點(diǎn)(0,2)在f(x)=aln(x+1)-
2x
x+1
+b
的圖象上,
∴f(0)=b=2,
f(x)=ln(x+1)-
2x
x+1
+2(x>-1)

由(1)得:f′(x)=
1
x+1
-
2
(x+1)2
=
x-1
(x+1)2
(x>-1)

當(dāng)f'(x)>0時(shí),得x>1;當(dāng)f'(x)<0時(shí),得-1<x<1,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值f(1)=1+ln2.
點(diǎn)評(píng):本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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