Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞0）上兩點A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），x軸上兩點M（1，0），N（-1，0）．
（1）若tan∠ANM=-2，tan∠AMN=

1

2

，求該橢圓的方程；
（2）若

MA

=-2

MB

，且0＜x₁＜x₂，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠ANM=-2，tan∠AMN=

1

2

，得直線AM和AN的直線方程，將此二方程聯(lián)立解得x和y，可知點A的坐標(biāo)，根據(jù)A在橢圓上，求得a，進(jìn)而求得橢圓方程可得．
（2）利用向量的坐標(biāo)公式得出

MA

，

MB

的坐標(biāo)，結(jié)合條件

MA

=-2

MB

得出坐標(biāo)間的關(guān)系，又根據(jù)A，B兩點的坐標(biāo)適合橢圓方程得出x₁-2x₂=-a²，從而建立建立a的不等關(guān)系，求得a的取值范圍，即可解得橢圓的離心率e的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得，直線AN的斜率k₁=tan∠ANM=-2，AM的斜率k₂=-tan∠AMN=-

1

2

，
所以直線AN的方程為y=-2（x+1），同理直線AM的方程為：y=-

1

2

（x-1），
聯(lián)立兩直線方程，解得點A的坐標(biāo)為（-

5

3

，

4

3

），
因為A在橢圓上，所以

5 2

9a 2

+

4 2

9×4

=1，a²=5，
∴該橢圓的方程

x 2

5

+

y2

4

=1；
（2）

MA

=（x₁-1，y₁），

MB

=（x₂-1，y₂），
∵若

MA

=-2

MB

，∴

x1-1=-2(x2-1) y1=-2y2

即

x1+2x2=3 y1=-2y2

．
又∵

x1 2

a 2

+

y1 2

4

=1①；

x 22

a 2

+

y2 2

4

=1②；
∴①-②×4得：（x₁+2x₂）（x₁-2x₂）=-3a²，
∴x₁-2x₂=-a²，從而x₁=

1

2

（3-a²），x₂=

1

4

（3+a²），
∵0＜x₁＜x₂，∴

1

2

（3-a²）＞0，

1

2

（3-a²）＜

1

4

（3+a²），
解得：1＜a＜

3

，
e²=

4-a 2

4

∈（

1

4

，

3

4

），
∴e∈（

1

2

，

3

2

），
∴橢圓的離心率e的取值范圍（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力．