Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（Ⅰ）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求， 的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】（１）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組求解；（２）依據(jù)題設(shè)條件借助到數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（３）借助題設(shè)條件運(yùn)用分類整合思想進(jìn)行分析求解：

（Ⅰ）， ．

因?yàn)榍�線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，所以，且，即，且，解得， ．

（Ⅱ）記,當(dāng)時(shí)， ，

，令，得， ，

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如表：

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， ；單調(diào)減區(qū)間為．

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)解得，

所以的取值范圍是．

（Ⅲ）記，當(dāng)時(shí)， ，

由（Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間為， ；單調(diào)減區(qū)間為．

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上的最大值為

；

②當(dāng)且，即時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為；

當(dāng)且，即時(shí)， 且，所以在區(qū)間上的最大值為；

③當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最大值為與中的較大者，

由知，當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上的最大值為；

④當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最大值為．