Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2）；a_n=

bn

2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）計(jì)算b₁，b₂，b₃，并求數(shù)列{b_n}，{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對于任意的n＞3，都有a₁+a₂+a₃＞a₄+a₅+…+a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由數(shù)列遞推式求得a₃，然后把數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)分別代入a_n=

bn

2n

求得b₁，b₂，b₃．將an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化簡得：b_n-1+b_n+1=2b_n，說明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后代入a_n=

bn

2n

得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，得到對于任意的n∈N^*，總有S_n＜4，再求出a1+a2+a3=

19

8

＞2得答案．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2），得a3=a2-

1

4

a1=1-

1

4

×

1

2

=

7

8

，
又a_n=

bn

2n

，
∴b₁=2a1=2×

1

2

=1，b₂=4a₂=4，b₃=8a3=8×

7

8

=7；
將an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化簡得：b_n-1+b_n+1=2b_n，
由等差中項(xiàng)的概念知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
由b₁=1，b₂=4知其公差為3，故b_n=3n-2．
代入a_n=

bn

2n

，得an=

3n-2

2n

；
（Ⅱ）證明：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
則Sn=

1

2

+

4

22

+

7

23

+…+

3n-2

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

4

23

+…+

3n-5

2n

+

3n-2

2n+1

，
兩式相減可得：

1 2 Sn= 1 2 + 3 22 + 3 23 +…+ 3 2n - 3n-2 2n+1 = 1 2 + 3 4 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 3n-2 2n+1 .

∴Sn=4-

3n+4

2n

．
可見，對于任意的n∈N^*，總有S_n＜4．
但a1+a2+a3=

19

8

＞2，
故當(dāng)n＞3時(shí)，a₄+a₅+…+a_n＜2＜a₁+a₂+a₃．

點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了利用等差中項(xiàng)的概念確定數(shù)列為等差數(shù)列，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．