如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，數(shù)學(xué)公式．
（1）求證：A′C⊥BC′；
（2）請(qǐng)?jiān)诰�段CC′上確定一點(diǎn)P，使直線A′P與平面A′BC所成角的正弦等于數(shù)學(xué)公式．

證明：（1）由題意，取B′C′的中點(diǎn)E，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．
則
∴
∴
∴A′C⊥BC′；
（2）設(shè)P（1，a，0），則
設(shè)平面A′BC的法向量為
∵，∴
∴
∴
即．
分析：（1）取B′C′的中點(diǎn)E，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0得證；
（2）設(shè)P（1，a，0），則，再設(shè)平面A′BC的法向量，進(jìn)而可用夾角公式可求．
點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，考查線線垂直，考查線面角，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都等于a，E是BB1的中點(diǎn)．
（1）求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值；
（2）求證：平面AEC1⊥平面ACC1A1；
（3）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（　�。�
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD∥平面ABC時(shí)，求
AOOB1
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求多面體ABC-A1PC1的體積；
（Ⅱ）求A1Q與BC1所成角的大小．

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