Question

在直角坐標(biāo)系上取兩個(gè)定點(diǎn),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.
（Ⅰ）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)()是軌跡上的定點(diǎn)，是軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線的斜率滿足，試探究直線的斜率是否是定值？若是定值，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）軌跡M的方程為（）
（Ⅱ）直線EF的斜率為定值，其值為

本試題主要考查了直線與直線的位置關(guān)系，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。(1) 依題意知直線的方程為：,直線的方程為：,利用交軌法得到軌跡方程的求解。
(2)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，和斜率公示得到結(jié)論。
（Ⅰ）依題意知直線的方程為：     ①……………2分
直線的方程為：       ②…………………3分
設(shè)是直線與交點(diǎn)，①×②得
由　　整理得            …………………4分
∵不與原點(diǎn)重合　∴點(diǎn)不在軌跡M上…………………5分
∴軌跡M的方程為（）…………………6分
（Ⅱ）∵點(diǎn)()在軌跡M上　∴解得，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為
設(shè)，則直線AE方程為：，代入并整理得
…………………9分
設(shè),,  ∵點(diǎn)在軌跡M上，
∴   ③,      ④………………11分
又得，將③、④式中的代換成，可得
，…………………………12分
∴直線EF的斜率…………………13分
∵
∴
即直線EF的斜率為定值，其值為