Question

9．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點．
（I）求證：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）求EH與平面AFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量，利用$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{n}$=0，證明：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）利用向量的夾角公式，求EH與平面AFE所成角的正弦值．

解答 （I）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（0，-1，3），A（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，1，3），
∴H（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{BH}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，1，3），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+3z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
∵$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{n}$=0
∴BH∥平面AEF；
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{EH}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴EH與平面AFE所成角的正弦值=|$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查空間向量知識的運用，考查線面平行，線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．