Question

已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，三點(diǎn)（0，

3

），（

1

2

，2

2

），（1，-

3

2

）中有兩個點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，另一點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上．
（1）求橢圓與拋物線的方程；
（2）若直線y=k（x+1）（k≠0）交拋物線于P，Q兩點(diǎn)．A，B分別是橢圓左，右頂點(diǎn)，求證：兩直線AP，BQ交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓和拋物線的性質(zhì)，得（0，

3

），（1，-

3

2

）兩點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，（

1

2

，2

2

）在拋物線y²=2px（p＞0）上，由此能求出橢圓方程和拋物線方程．
（2）聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，直線AP：y=

y1

x1+2

（x+2），直線BQ：y=

y2

x2-2

(x-2)，聯(lián)立

y= y1 x1+2 (x+2) y= y2 x2-2 (x-2)

，得x=

2(2x1x2+3x2-x1)

3x1+x2+4

，由此能證明兩直線AP，BQ交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上．

解答： （1）解：∵三點(diǎn)（0，

3

），（

1

2

，2

2

），（1，-

3

2

）中，
有兩個點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，另一點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴（0，

3

），（

1

2

，2

2

）這兩個點(diǎn)只能取一個，否則會相互矛盾，原因是2

2

＞

3

，
又（0，

3

）不在拋物線拋物線y²=2px（p＞0）上，
故由橢圓和拋物線的性質(zhì)，得（0，

3

），（1，-

3

2

）兩點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
（

1

2

，2

2

）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
把（0，

3

），（1，-

3

2

）兩點(diǎn)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
得

3 b2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
把（

1

2

，2

2

）代入拋物線y²=2px（p＞0），得：
8=2p×

1

2

，解得p=8，
∴拋物線方程為y²=16x．
（2）證明：聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，k≠0，
∵直線y=k（x+1）（k≠0）交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，
∴△=1-4k×

k

16

＞0，解得-2＜k＜0或0＜k＜2，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∵A，B分別是橢圓左，右的頂點(diǎn)，∴A（-2，0），B（2，0），
∴直線AP：y=

y1

x1+2

（x+2），
直線BQ：y=

y2

x2-2

(x-2)，
聯(lián)立

y= y1 x1+2 (x+2) y= y2 x2-2 (x-2)

，消去y，得x=

2(2x1x2+3x2-x1)

3x1+x2+4

（*）
由x1+x2=-

8k2

4k2+3

=-2+

6

4k2+3

，
x1x2=

4k2-12

4k2+3

=1-

15

4k2+3

，消去k，得2x₁x₂=-8-5（x₁+x₂），
代入（*）式，得x=

2[-8-5(x1+x2)+3x2-x1]

3x1+x2+4

=

2(-6x1-2x2-8)

3x1+x2+4

=-4，
∴兩直線AP，BQ交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上．

點(diǎn)評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法，考查兩直線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．