Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）證明：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）求f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設(shè)x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到結(jié)論f（x）為奇函數(shù)，
（2）再利用函數(shù)單調(diào)性的定義由x＞0時，有f（x）＞0，結(jié)合對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，
（3）根據(jù)單調(diào)性，以及f（3）=-4，得到f（x）在[-9，9]上有最大值和最小值．

解答 （1）證明：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：任取兩個自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
（3）解：∵f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)
∴f（x）在[-9，9]上有最大值和最小值                
最小值為f（9）=f（6）+f（3）=f（3）+f（3）+f（3）=3f（3）=-12；
最大值為f（-9）=-f（9）=12．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性與性質(zhì)，是對函數(shù)性質(zhì)及應用的綜合考查，屬于中檔題．