Question

已知函數(shù)f(x)＝(a－1)ln x＋ax²＋1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)如果對任意的x₁>x₂>0，總有≥2，求a的取值范圍．

 

Answer 1

解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

①當(dāng)a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；

③當(dāng)0<a<1時，令f′(x)＝0，解得x＝

則當(dāng)x∈(0, )時，f′(x)<0；

x∈( ，＋∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(0, ]上單調(diào)遞減，

在[ ，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)由已知，可得對任意的x₁>x₂>0，有x₁－x₂>0，

所以由，

得f(x₁)－f(x₂)≥2(x₁－x₂)，

即f(x₁)－2x₁≥f(x₂)－2x₂.

令g(x)＝f(x)－2x，又x₁>x₂，

故函數(shù)g(x)＝f(x)－2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

所以g′(x)＝＋2ax－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．

所以(＋2x)a≥2＋.

因為x>0，所以

令t＝2x＋1，則x＝，

又x>0，所以t>1.

故(*)式可化為.

即的最大值為.

故a的取值范圍為[，＋∞)．