Question

求與

x2

5

+

y2

4

=1有相同的離心率且過點(diǎn)(

5

，2)的橢圓方程

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），首先求出

x2

5

+

y2

4

=1的離心率e=

5

5

，列出關(guān)于a，b關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程求出a，b即可得到結(jié)論．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)同樣得到橢圓的解析式．，然后設(shè)出橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，將點(diǎn)(

5

，2)代入方程，再根據(jù)c²=a²-b²，聯(lián)立方程組得出a²=10  b²=8，即可得出結(jié)果．

解答：解：由題意可知橢圓離心率e=

5

5

即

c

a

=

5

5

①
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由題設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
將點(diǎn)(

5

，2)代入橢圓方程得

5

a2

+

4

b2

=1②
又∵c²=a²-b²   ③
聯(lián)立①②③得，a²=10  b²=8
∴橢圓方程為

x2

10

+

y2

8

=1
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，由題設(shè)橢圓方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
將點(diǎn)(

5

，2)代入橢圓方程得

4

a2

+

5

b2

=1④
聯(lián)立①③④得

41y2

4

+

41x2

5

=1
故答案為

x2

10

+

y2

8

=1或

41y2

4

+

41x2

5

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a、b、c的方程組，是解答本題的關(guān)鍵．