Question

已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，對任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且對任意x＞0,都有f(x)＜0,f(3)=-3.

(1)試證明函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)；

(2)試證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；

(3)試求函數(shù)y=f(x)在［m,n］(m、n∈Z,且mn＜0)上的值域.

Answer 1

剖析:(1)可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設(shè)條件.

    (2)可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明，應由條件先得到f(0)=0后，再利用條件f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)中x₁、x₂的任意性，可使結(jié)論得證.

    (3)由(1）的結(jié)論可知f(m)、f(n)分別是函數(shù)y=f(x)在［m、n］上的最大值與最小值，故求出f(m)與f(n)就可得所求值域.

(1)證明:任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］,

    于是由題設(shè)條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁).

    ∵x₂＞x₁,

    ∴x₂-x₁＞0.

    ∴f(x₂-x₁)＜0.

    ∴f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)＜f(x₁).

    故函數(shù)y=f(x)是單調(diào)減函數(shù).

(2)證明:∵對任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),

    ∴若令x=x′=0,則f(0)=f(0)+f(0).

    ∴f(0)=0.

    再令x′=-x,

    則可得f(0)=f(x)+f(-x).

    ∵f(0)=0,

    ∴f(-x)=-f(x).

    故y=f(x)是奇函數(shù).

(3)解:由函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù),

    ∴y=f(x)在［m,n］上也為單調(diào)減函數(shù).

    ∴y=f(x)在［m,n］上的最大值為f(m),最小值為f(n).

    ∴f(n)=f［1+(n-1)］=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1).

    同理，f(m)=mf(1).

    ∵f(3)=-3,

    ∴f(3)=3f(1)=-3.

    ∴f(1)=-1.

    ∴f(m)=-m,f(n)=-n.

    因此，函數(shù)y=f(x)在［m,n］上的值域為［-n,-m］.

講評:(1)滿足題設(shè)條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函數(shù),只要其定義域是關(guān)于原點對稱的，它就為奇函數(shù).

    (2)若將題設(shè)條件中的x＞0，均有f(x)＜0改成均有f(x)＞0,則函數(shù)f(x)就是R上的單調(diào)增函數(shù).

    (3)若題設(shè)條件中的m、n∈Z去掉，則我們就無法求出f(m)與f(n)的值，故m、n∈Z不可少.