Question

已知f（x）滿足g（x）=（x+1）f（x）=x²+mx+10，且g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x）
（1）求m的值     
（2）求當(dāng)x＞-1時(shí)，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x），可得g（x）的對(duì)稱軸為x=-

7

2

，從而可求m的值；
（2）f（x）=

(x+1)2+5(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+5，因?yàn)閤＞-1，所以x+1＞0，利用基本不等式可求f（x）的最小值，從而可求f（x）值域．

解答：解：（1）∵g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x）
∴g（x）的對(duì)稱軸為x=-

7

2

     …（2分）
∵g（x）=x²+mx+10的對(duì)稱軸為x=-

m

2

∴-

m

2

=-

7

2

∴m=7        …（4分）
（2）∵g（x）=（x+1）f（x）=x²+7x+10
∴f(x)=

x2+7x+10

x+1

=

(x+1)2+5(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+5    …（8分）
∵x＞-1 
∴x+1＞0，

4

x+1

＞0
∴f(x)≥2

4

+5=9   …（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值為9            …（11分）
故f（x）值域?yàn)閇9，+∞）                        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，構(gòu)建滿足基本不等式的條件．