Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓的方程；
（2）若直線ax-y+5=0（a≠0）與圓相交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意圓心在x軸，且圓心橫坐標是整數，設出圓心M的坐標，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，根據直線與圓相切，得到d與半徑r相等，列出關于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，確定出圓心坐標，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可；
（2）假設符合條件的實數a存在，由a不為0，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由直線ax-y+5=0的斜率表示出直線l方程的斜率，再由P的坐標和表示出的斜率表示出直線l的方程，根據直線l垂直平分弦AB，得到圓心M必然在直線l上，所以把M的坐標代入直線l方程中，得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入確定出直線l的方程，經過檢驗發(fā)現直線ax-y+5=0與圓有兩個交點，故存在．
解答：解：（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
所以，即|4m-29|=25．
即4m-29=25或4m-29=-25，
解得m=或m=1，
因為m為整數，故m=1，
故所求的圓的方程是（x-1）²+y²=25；
（2）設符合條件的實數a存在，
∵a≠0，則直線l的斜率為，l的方程為，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得．
經檢驗時，直線ax-y+5=0與圓有兩個交點，
故存在實數，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質．要求學生掌握直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑．根據直線l垂直平分弦AB得到圓心M必然在直線l上是解本題第二問的關鍵．