Question

17．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2）恒成立，且當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=-2x²+4x，設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n項和為S_n，若不等式$\frac{t}{2n}≤{S_n}$對任意n∈N^*恒成立，則t的取值范圍是（　�。�

• A． t≤5
• B． t≤4
• C． t≤3
• D． t≤2

Answer 1

分析 由題意可知，函數(shù)圖象向右平移2個單位，只是改變函數(shù)的最大值，求出a₁，公比q，推出a_n，然后求出S_n，判斷數(shù)列n（4-2^2-n）為遞增數(shù)列，結(jié)合不等式恒成立思想，即可得到t的范圍．

解答 解：因為f（x）=2f（x+2），所以f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
就是函數(shù)圖象向右平移2個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，a₁=f（1）=2，公比q=$\frac{1}{2}$，
所以a_n=2（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有S_n=2•$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=4-2^2-n，
不等式$\frac{t}{2n}≤{S_n}$對任意n∈N^*恒成立，
即為$\frac{1}{2}$t≤nS_n，
由n（4-2^2-n）-（n-1）（4-2^3-n）=4+（n-2）2^2-n，
由n≥2，可得n（4-2^2-n）＞（n-1）（4-2^3-n），
{n（4-2^2-n）}為遞增數(shù)列，則n=1為最小，且為2．
即有t≤4．
故選：B．

點評 本題是中檔題，考查函數(shù)與數(shù)列的交匯題目，注意函數(shù)的圖象的平移，改變的是函數(shù)的最大值，就是數(shù)列的公比，考查不等式恒成立思想和計算能力，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．