Question

(本小題滿分16分)

 已知函數(shù),其中.

（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;

（2）若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;

（3）已知,如果存在,使得函數(shù)在處取得最小值,試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)時(shí),,則,故………2分

又切點(diǎn)為,故所求切線方程為,即……………………4分

(2)由題意知,在區(qū)間(1,2)上有不重復(fù)的零點(diǎn),

由,得,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208365906258836/SYS201304020837337343461162_DA.files/image013.png">,所以……7分

令,則,故在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),

所以其值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208365906258836/SYS201304020837337343461162_DA.files/image002.png">,從而的取值范圍是……………………………9分

   (3),

   由題意知對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,即  ①對(duì)恒成立 ……………………………11分

   當(dāng)時(shí),①式顯然成立;

   當(dāng)時(shí),①式可化為    ②,

   令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 ……………13分

   即,其等價(jià)于   ③ ,

   因?yàn)棰墼?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208365906258836/SYS201304020837337343461162_DA.files/image030.png">時(shí)有解,所以,解得,

從而的最大值為……………………………16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)零點(diǎn)，不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化

點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，不等式問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解