Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足以下①②③三個條件：
①f（1）=3；
②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；
③若a≥0，b≥0，a+b≤1，則f（a+b）≥f（a）+f（b）-2．
（1）求f（0）；
（2）設x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，試證明f（x₁）≤f（x₂）并利用此結論求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（3）試比較f（）與（n∈N）的大小，并證明對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2．

Answer 1

（1）解：令a=b=0，∴f（0）=f（0+0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2，
又∵f（0）≥2對一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（0）=2
（2）證明：設x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈[0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₁）≤f（x₂）
則當0≤x≤1時，f（0）≤f（x）≤f（1）
∴f（x）_min=2，f（x）_max=3
（3）證明：在③中令，得
∴≤…≤
∴ （Ⅰ）
對?x∈（0，1]，總存在n∈N，滿足
由（2）及（Ⅰ）得：
又2x+2＞，
∴f（x）＜2x+2．
綜上所述，對任意x∈（0，1]，f（x）＜2x+2恒成立
分析：（1）利用賦值法，令a=b=0，結合f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立，我們可以求出f（0）；
（2）利用f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2，我們可證得結論；
（3）利用賦值法，再進行放縮，可得，對?x∈（0，1]，總存在n∈N，滿足，這樣我們就可得到，由此結論成立．
點評：抽象函數(shù)性質的研究，賦值法是常用方法，單調性的證明，正確變形是關鍵，同時注意放縮法的運用．