Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+a|，g（x）=|x-2|+1．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥5；
（2）若對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入f（x），通過(guò)討論x的范圍求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分別求出f（x），g（x）的范圍，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=|x-1|+|x+2|=\left\{\begin{array}{l}-2x-1，x≤-2\\ 3，-2＜x＜1\\ 2x+1，x≥1\end{array}\right.$
∴f（x）≥5，即$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\-2x-1≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜1\\ 3≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x+1≥5\end{array}\right.$，
∴x≥2或x≤-3，
∴不等式f（x）≥5的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（2）∵對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
（當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x+1）≤0時(shí)等號(hào)成立），g（x）=|x-2|+1≥1，
所以|a+1|≥1，∴a+1≥1或a+1≤-1，
∴a≥0或a≤-2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．