Question

已知f(x)=

2

3

x3-2x2+cx+4，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在x=1+

2

處取得極值，試求c的值和f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）如圖所示，若函數(shù)y=f（x）的圖象在[a，b]連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得f′(c)=

f(b)-f(a)

b-a

，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）由f′(1+

2

)=0，求得c，再用f′（x）＞0求得增區(qū)間．
（2）先化簡(jiǎn)g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═ex-e2-x+

2

3

x3-2x2-2x+4，則g′（x）=ex+

e2

ex

+2(x-1)2-4≥2

ex• e2 ex

+2•0-4=2e-4.由猜想知對(duì)于函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)A、B，在A、B之間一定存在一點(diǎn)C（c，g′（c）），有g(shù)′（x）≥2e-4．

解答：解：（1）f′（x）=2x²-4x+c，（1分）
依題意，有f′(1+

2

)=0，即c=-2(1+

2

)2+4(1+

2

)=-2．（2分）
∴f(x)=

2

3

x3-2x2-2x+4，f′（x）=2x²-4x-2．
令f′（x）＞0，得x＜1-

2

或x＞1+

2

，（5分）
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，1-

2

]及[1+

2

，+∞)；（6分）
（2）f′(c)=

f(b)-f(a)

b-a

；g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═ex-e2-x+

2

3

x3-2x2-2x+4，（7分）
g′（x）=e^x+e^2-x+2x²-4x-2（9分）=ex+

e2

ex

+2(x-1)2-4≥2

ex• e2 ex

+2•0-4=2e-4.（12分）
由（2）知，對(duì)于函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)A、B，在A、B之間一定存在一點(diǎn)C（c，g′（c）），使得g′（c）=K_AB，又g′（x）≥2e-4，故有K_AB=g′（c）≥2e-4，證畢．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性二是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．