Question

對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)，請(qǐng)解答下列問題：

（Ⅰ）求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱，并寫出對(duì)于任意三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（不需證明）；

（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：線段與曲線存在異于的共同點(diǎn)；

（Ⅳ）若另一個(gè)三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”為，當(dāng)，試比較與的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）

令得

所以“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)為

（Ⅱ）設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，則

關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

把代入，得左邊

右邊=

所以左邊=右邊，所以在圖象上，

所以的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱．

結(jié)論：任何三次函數(shù)的拐點(diǎn)都是它的對(duì)稱中心（表達(dá)方式不唯一）

（Ⅲ）設(shè)，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/05/17/17/2014051717371532423884.files/image130.gif'>是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是的兩根，

又  所以

所以關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱

所以線段與曲線存在異于的共同點(diǎn)A

（Ⅳ）有題意知，

 

 

=  

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，