Question

已知函數(shù)f（x）=x²，設(shè)函數(shù)g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，是否存在實(shí)數(shù)q（q＞0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4）是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出q的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：存在．
可設(shè)x²=t，則函數(shù)g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其對稱軸為t=

2q-1

2q

，又q＜0，所以拋物線開口向上，
g（x）在區(qū)間（-∞，-4）上是減函數(shù)，且在（-4，0）上是增函數(shù)
所以t必須在區(qū)間（16，+∞）上是減函數(shù)，且在（0，16）上是增函數(shù)
又t=x²本身是增函數(shù)，那么對稱軸要等于16
即

2q-1

2q

=16，解得q=-

1

30

，
滿足（q＜0）的條件． 
所以存在實(shí)數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生冪函數(shù)的性質(zhì)掌握能力，函數(shù)奇偶性的判斷能力，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用能力．