Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x+1  (x∈R)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值，并寫出f（x）取最小值時(shí)相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得其最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而求得sin（2x+

π

6

）的范圍，求得f（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，最小值為-

3

+1．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．