Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形．
（I） 求橢圓C₁的方程；
（II） 設點P是拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）與C₁的公共點，C₂在點P處的切線與C₁交于點另一點M．Q是P關于X軸的對稱點，問中否存在h使點Q在以PM為直徑的圓上．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（II）假設存在h使點Q在以PM為直徑的圓上，利用，，即可求得結論．
解答：解：（I）由題意，∵橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形
∴b=1，2•=1
∴a=2，b=1
∴所求的橢圓方程為，
（II）不妨設P（t，t²+h），M（x，y），則（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假設存在h使點Q在以PM為直徑的圓上，則
∵
∴M（-t，-t²-h），∴2t=
∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=  
∴存在h=，使點Q在以PM為直徑的圓上．
點評：本題考查橢圓的標準方程與橢圓的幾何性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，求得橢圓的方程是關鍵．