Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)與圓（x-2）²+y²=1相交，則雙曲線(xiàn)C離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，進(jìn)而利用圓心到漸近線(xiàn)的距離小于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c²=a²+b²求得a和c的關(guān)系，則雙曲線(xiàn)的離心率可求．

解答： 解：∵雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為bx±ay=0，與圓（x-2）²+y²=1相交
∴圓心到漸近線(xiàn)的距離小于半徑，即

2b

a2+b2

＜1
∴3b²＜a²，
∴c²=a²+b²＜

4

3

a²，
∴e=

c

a

＜

2 3

3

∵e＞1
∴1＜e＜

2 3

3

．
故答案為：(1，

2 3

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．