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設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，過點C（0，1）且斜率為1的直線交雙曲線的兩漸近線于點A、B．若
BC
=2
AC
，則雙曲線的離心率為（　　）
分析：先由
BC
=2
AC
，可得點A、B的橫坐標之間的關系； 再聯(lián)立直線方程與雙曲線方程整理可得關于a2的等式，求出a2即可求出其離心率．
解答：解：設A（x1，y1）．B（x2，y2），由
BC
=2
AC
，得x2=2x1．①
由題得：直線方程為y=x+1
聯(lián)立
y=x+1
x2
a2
-y2=1
整理得：（1-a2）x2-2a2x-2a2=0．
所以x1+x2=
2a2
1-a2
    ②，x1•x2=-
2a2
1-a2
     ③．
①代入②，③整理得：x12=-
a2
1-a2
=
1
9
(
2a2
1-a2
)2
解得a2=9．
所以e=
c
a
=
a2+1
a2
=
10
3
．
故選  B．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵是利用
BC
=2
AC
，得點A、B的橫坐標之間的關系；再結合韋達定理求解問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，點A、B分別為雙曲線C實軸的左端點和虛軸的上端點，點F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，點M、N是雙曲線C的右支上不同兩點，點Q為線段MN的中點．已知在雙曲線C上存在一點P，使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設a為正常數，若點Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，點C（0，1），若直線
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t為參數）交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且
.
BC
=2
.
AC
，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
2
B、
10
3
C、
5
D、
10

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，點C（0，1），若直線y=x+1交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且
BC
=2
CA
，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
2
B、
10
3
C、
5
D、
10

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，過點C（0，1）且斜率為1的直線交雙曲線的兩漸近線于點A、B．若
BC
=2
AC
，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．
5
2
B．
10
3
C．
5
D．
10

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