Question

已知函數(shù)f（x）=ln x-

b

x

（b為實(shí)數(shù)）
（1）若b=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)M（x）滿足M（x）≥N（x）恒成立，則稱M（x）是N（x）的一個(gè)“上界函數(shù)”．
①如果函數(shù)f（x）為g（x）=-Inx的一個(gè)“上界函數(shù)”，求b的取值范圍；
②若b=0，函數(shù)F（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求證：當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，函數(shù)F（x）是函數(shù)y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個(gè)“上界函數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)后，令其為零，解出x，再驗(yàn)證是否為極值即可；
（2）①由新定義知，f（x）≥g（x）在其定義域上恒成立，即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即有（2ln x-

b

x

）_極小值≥0，解出b即可；
②若b=0，則函數(shù)f（x）=ln x，由題意知，函數(shù)F（x）=e^x，要證明當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，函數(shù)F（x）是函數(shù)y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個(gè)“上界函數(shù)”．只需證ex≥f(

x

2

+1)+

x

2

+1在x∈（-2，+∞）時(shí)，恒成立即可．

解答：解：（1）由于b=-1，則函數(shù)f（x）=ln x+

1

x

，得到f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

令f′（x）=0，則x=1，
由于當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
故函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，且極小值為1；
（2）①由“上界函數(shù)”定義知，函數(shù)f（x）為g（x）=-lnx的一個(gè)“上界函數(shù)”?f（x）≥g（x）在其定義域上恒成立，
即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）=2ln x-

b

x

，則H′(x)=

2

x

+

b

x2

=

2x+b

x2

，
當(dāng)b≥0時(shí)，H′（x）＞0，則H（x）=2ln x-

b

x

在（0，+∞）上遞增，顯然不滿足（2ln x-

b

x

）_極小值≥0；
當(dāng)b＜0時(shí)，令H′（x）＞0，得到x＞-

b

2

則H（x）=2ln x-

b

x

在（0，-

b

2

）上遞減，在（-

b

2

，+∞）上遞增，
故（2ln x-

b

x

）_極小值=2ln（-

b

2

）-

b

- b 2

=2ln（-

b

2

）+2≥0，解得b≤-

2

e

，
故若函數(shù)f（x）為g（x）=-lnx的一個(gè)“上界函數(shù)”，b的取值范圍為b≤-

2

e

；
②證明：由于b=0，則f（x）=ln x，又由函數(shù)F（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)F（x）=e^x，
當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，令G（x）=F（x）-[f(

x

2

+1)+

x

2

+1]=ex-ln(

x

2

+1)-

x

2

-1，則G′(x)=ex-

1

x+2

-

1

2

若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則[G(x)]最小值=G(0)=e0-ln1-1=0
故當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，G（x）≥0恒成立，
即當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，函數(shù)F（x）是函數(shù)y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個(gè)“上界函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．