Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$+c（a，b，c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$
（1）求a，b，c的值；
（2）用定義證明f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上的單調(diào)性；
（3）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，得c=0．再根據(jù)f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，建立關(guān)于a、b的方程組，解之即得a、b的值；
（2）運(yùn)用定義證明單調(diào)性，注意取值、作差、變形和定符號(hào)和下結(jié)論等步驟；
（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性，不難得到f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$]上的最小值為f（$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-$\frac{x}$+c+ax+$\frac{x}$+c=0，得c=0．
∵f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，
∴a+b=$\frac{5}{2}$且2a+$\frac{2}$=$\frac{17}{4}$，解得a=2，b=$\frac{1}{2}$．
∴a=2，b=$\frac{1}{2}$，c=0；
（2）證明：由（1）知，f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
設(shè)0＜m＜n＜$\frac{1}{2}$，f（m）-f（n）=2m+$\frac{1}{2m}$-（2n+$\frac{1}{2n}$）
=2（m-n）+$\frac{1}{2}$•$\frac{n-m}{mn}$=（m-n）（2-$\frac{1}{2mn}$），
由0＜m＜n＜$\frac{1}{2}$，可得0＜mn＜$\frac{1}{4}$，即0＜2mn＜$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2mn}$＞2，
則m-n＜0，2-$\frac{1}{2mn}$＜0，
可得f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上遞減；
（3）f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上為減函數(shù)，
由此可得，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{4}$]上也為減函數(shù)．
則最小值為f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有參數(shù)的分式函數(shù)，在已知函數(shù)為奇函數(shù)的情況下求函數(shù)的解析式，并討論函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．