Question

函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上有最大值14，試求a的值．

Answer 1

分析：令b=a^x構(gòu)造二次函數(shù)y=b²+2b-1，然后根據(jù)a的不同范圍（a＞1或0＜a＜1）確定b的范圍后可解．

解答：解：令b=a^x則a^2x=b²
∴y=b²+2b-1=（b+1）²-2   對稱軸b=-1
若0＜a＜1，則b=a^x是減函數(shù)，所以a^-1＞a
所以0＜a＜b＜

1

a

所以y的圖象都在對稱軸b=-1的右邊，開口向上 并且遞增
所以b=

1

a

時(shí)有最大值
所以y=b²+2b-1=14∴b²+2b-15=0∴（b-3）（b+5）=0
b＞0，所以    b=

1

a

=3，a=

1

3

符合0＜a＜1
若a＞1則b=a^x是增函數(shù)，此時(shí)0＜

1

a

＜b＜a
y的圖象仍在對稱軸b=-1的右邊，所以還是增函數(shù)
b=a時(shí)有最大值
所以y=b²+2b-1=14
b＞0，所以b=a=3，符合a＞1
所以a=

1

3

或a=3

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的問題．對于這種類型的題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解．