Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件知b₁=a₂-2a₁=3．由S_n+1=4a_n+2和S_n=4a_n-1+2相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1，即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），所以b_n=2b_n-1，由此可知{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由題設(shè)知．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
則當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n=4a_n-1+2，②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，得．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以，即a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要掌握等比數(shù)列的證明方法，會(huì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．