Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a_n+1＞a_n對(duì)n∈N^*任意都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），利用b₁=a-3≠0，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a-3，公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過(guò)（I）知，（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ-[（a-3）•2^n-2+2•3^n-1]＞0對(duì)n∈N^*任意都成立，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），
又∵b_n=S_n-3ⁿ，∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
又∵b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a-3，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=（a-3）•2^n-1；
（Ⅱ）由（I）知，S_n-3ⁿ=b_n=（a-3）•2^n-1，
∴S_n=（a-3）•2^n-1+3ⁿ，
∴a_n+1=S_n+3ⁿ=（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ，
∴a_n=（a-3）•2^n-2+2•3^n-1（n≥2），
∵a_n+1＞a_n，即a_n+1-a_n＞0對(duì)n∈N^*任意都成立，
∴（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ-[（a-3）•2^n-2+2•3^n-1]＞0，
化簡(jiǎn)得$\frac{3-a}{8}＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$ （n≥2），
即$\frac{3-a}{8}＜\frac{3}{2}$，解得a＞-9，
而當(dāng)n=1時(shí)，a₂-a₁=3＞0，
綜上所述：a∈（-9，3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．