精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x=4是它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線BP于橢圓相交于兩點B，N，求證：∠NAP為銳角．
分析：（I）利用已知和a，b，c的關系即可得出；
（II）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設N（x0，y0），由于N點在橢圓上，可得
y
2
0
=
3
4
(4-
x
2
0
)，
又N點異于頂點A、B，得出-2＜x0＜2，y0≠0．由P、B、N三點共線可得點P的坐標，只要證明
AN
•
AP
＞0即可．
解答：解：（Ⅰ）依題意得
a=2c
a2
c
=4
，解得
a=2
c=1
，
從而b=
a2-c2
=
3
．
故橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設N（x0，y0），
∵N點在橢圓上，∴
y
2
0
=
3
4
(4-
x
2
0
)①
又N點異于頂點A、B，∴-2＜x0＜2，y0≠0
由P、B、N三點共線可得P(4，
2y0
x0-2
)，
從而
AN
=(x0+2，y0)，
AP
=(6，
2y0
x0-2
)．
AN
•
AP
=6x0+12+
2
y
2
0
x0-2
②
AN
•
AP
=6x0+12-
3
2
(2+x0)=
9
2
(x0+2)．
∵x0+2＞0，y0≠0，∴
AN
•
AP
＞0
于是∠NAP為銳角．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、三點共線斜率相等、向量夾角為銳角與數量積的關系等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點P為橢圓上不同于A，B的一個動點，直線PA，PB與橢圓右準線相交于M，N兩點，在x軸上是否存在點Q，使得
QM
•
QN
=0，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=為它的右準線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設P為橢圓上不同于A，的一個動點，直線PA，P與橢圓右準線相交于M，兩點，證明：MN為直徑的圓必過橢圓外的一個定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，C，D分別為橢圓上、下頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且四邊形ACBD 的面積為4
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設Q為橢圓上異于A、B的點，求證：直線QA與直線QB的斜率之積為定值；
（3）設P為直線x=
a2
c
 ．(a2=b2+c2)上不同于點（
a2
c
，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案