Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F．
（1）若點F是線段AP中點，當(dāng)點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（x_A，y_A），由點F是線段AP中點，得

xA=2-x yA=-y

，由此利用相關(guān)點法能求出動點P的軌跡方程．
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（t，0）．點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q′（x，y），由已知得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．由此能求出存在滿足題意的點Q擴(kuò)其坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（x_A，y_A），
則

AP

=（x-x_A，y-y_A），
∵F的坐標(biāo)為（1，0），∴

FA

=（x_A-1，y_A），
∵點F是線段AP中點，∴（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
解得

xA=2-x yA=-y

，
∵點A在拋物線C上運動，
∴動點P的軌跡方程為：y²=4（2-x）=8-4x．
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（t，0）．
點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q′（x，y），
則

y x-t =- 1 2 y 2 =x+t

，解得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．
若Q′在C上，將Q′的坐標(biāo)代入y²=4x，
得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
∴存在滿足題意的點Q，其坐標(biāo)為（0，0）和（-

15

4

，0）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意相關(guān)點法的合理運用．