Question

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；

（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

【解析】

試題分析：Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312322985244122/SYS201307231233091487639421_DA.files/image005.png">，，

所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為．      2分

由點(diǎn)在橢圓上，所以 ，                            4分

解得 ．                                                     5分

（Ⅱ）解：設(shè)，則 ，且．     ①          6分

因?yàn)?是線段的中點(diǎn)，

所以 ．                                             7分

因?yàn)?，

所以 ．    ②                             8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                         10分

所以 ，                       12分

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立．又

所以 的取值范圍是．                                 13分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系要熟練掌握。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。涉及直線垂直問題，利用斜率的坐標(biāo)運(yùn)算，得到m的表達(dá)式，利用均值定理得到其范圍。本題難度不大，綜合性較強(qiáng)。