Question

設(shè)動點P到點A(－1，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)過點B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點，試確定λ的范圍，使，其中點O為坐標(biāo)原點．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：(1)在中，，

　　即，

　　，

　　即(常數(shù))，

　　點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．

　　方程為：．

　　(2)設(shè)，

　�、佼�(dāng)垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．

　　即，因為，所以．

　�、诋�(dāng)不垂直于軸時，設(shè)的方程為．

　　由得：

　　，

　　由題意知：，

　　所以，．

　　于是：．

　　因為，且在雙曲線右支上，所以

　　．

　　由①②知，．

　　解法二：(1)同解法一

　　(2)設(shè)，，的中點為．

　�、佼�(dāng)時，，

　　因為，所以；

　�、诋�(dāng)時，．

　　又．所以；

　　由，得，由第二定義得

　　．

　　所以．

　　于是由，得

　　因為，所以，又，

　　解得：．由①②知．