Question

已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在點處的切線與圓相切，求的值；

（2）當(dāng)時，函數(shù)的圖像恒在坐標(biāo)軸軸的上方，試求出的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識和方法，突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力，考查函數(shù)思想、分類討論思想.第一問，先將代入中，得到切點的縱坐標(biāo)，對求導(dǎo)，將代入得到切線的斜率，所以點斜式寫出切線方程，因為它與圓相切，所以圓心到切線的距離等于半徑，列出表達(dá)式，求出；第二問，對求導(dǎo)，通過分析可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，設(shè)，討論，討論的正負(fù)，通過拋物線的性質(zhì)，求最小值.

試題解析：(1) ，而，故，

所以在點處的切線方程為，即，

由，配方得，故該圓的圓心為，半徑，

由題意可知，圓與直線相切，所以，

即，解得.

（2）函數(shù)的定義域為，，

由題意，只需當(dāng)時，恒成立.

設(shè)（），，

當(dāng)時，，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，

故在上是增函數(shù)，∴當(dāng)時，，

當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，則在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，，∴，∴在上是增函數(shù)，

∴當(dāng)時，，

當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，在是減函數(shù)，，

故，∴在是減函數(shù)，

∴當(dāng)時，與當(dāng)時，矛盾，

綜上所述，的取值范圍是.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程；2.點到直線的距離公式；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.