設a、b是兩個互相垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量m=ka+b與n=a+kb的夾角為60°？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

解：假設存在整數(shù)k滿足條件，∵a⊥b, ∴a·b=0. ∵|a|=|b|=1,?∴m·n=(ka+b)(a+kb)=ka2+a·b+k2a·b+kb2=2k, |m|2=(ka+b)2=k2a2+2ka·b+b2=k2+1，即|m|=，|n|2=(a+kb)2=a2+2ka·b+k2b2=1+k2,即|n|=. 由cos60°===,即k2-4k+1=0, 解得k=2±Z. ∴假設不成立.?故不存在整數(shù)k，使m,n的夾角為60°.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，已知向量
m
=k
a
+
b
，
n
=
a
+k
b
，(k＞0)且向量
m
與
n
夾角θ的余弦值為f(k)，
（1）求f（k）的表達式．
（2）求f（k）的值域及夾角θ=60°時的k值．
（3）在（1）的條件下解關于k的不等式：f[f(k)]＜
-3ak2+(a2+4)k
k4+6k2+1
，(a∈R)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a與b是兩個互相垂直的單位向量,問當k為整數(shù)時,向量m=ka+b與向量n=a+kb的夾角能否等于60°?證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，已知向量
m
=k
a
+
b
，
n
=
a
+k
b
，(k＞0)且向量
m
與
n
夾角θ的余弦值為f(k)，
（1）求f（k）的表達式．
（2）求f（k）的值域及夾角θ=60°時的k值．
（3）在（1）的條件下解關于k的不等式：f[f(k)]＜
-3ak2+(a2+4)k
k4+6k2+1
，(a∈R)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a與b是兩個互相垂直的單位向量，問當k為整數(shù)時，向量m=ka+b與向量n=a+kb的夾角能否為60°？證明你的結論.

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