(2013•資陽二模)如圖,在平面斜坐標系xOy中,∠xOy=θ,平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義:若
OP
=
xe1
+
ye2
(其中
e1
,
e2
分別是x軸,y軸同方向的單位向量),則P點的斜坐標為(x,y),向量
OP
的斜坐標為(x,y).給出以下結論:
①若θ=600,P(2,-1),則|
OP
|=
3
;
②若P(x1,y1),Q(x2,y2),則
OP
+
OQ
=(x1+x2,y1+y2);
③若
OP
=(x1,y1),
OQ
=(x2,y2),則
OP
-
OQ
=x1x2+y1y2;
④若θ=600,以O為圓心,1為半徑的圓的斜坐標方程為x2+y2+xy-1=0.
其中所有正確的結論的序號是
①②④
①②④
分析:①由θ=600,P(2,-1),利用數(shù)量積得性質可得|
OP
|=
(2
e1
-
e2
)2
=
4
e1
2
+
e2
2
-4
e1
e2
=
4+1-4cos60°
即可得出;
②由P(x1,y1),Q(x2,y2),利用謝坐標系的定義可得
OP
=(x1,y1)
OQ
=(x2,y2)
,可得
OP
+
OQ
=(x1+x2,y1+y2),故正確;
③若
OP
=(x1,y1),
OQ
=(x2,y2),則
OP
-
OQ
=(x1-x2,y1-y2),即可判斷出;
④若θ=600,以O為圓心,1為半徑的圓滿足|
OP
|=1
,設P(x,y),則
(x
e1
+y
e2
)2=1
,化為x2+y2+2xycos60°=1,即可判斷出.
解答:解:①∵θ=600,P(2,-1),則|
OP
|=
(2
e1
-
e2
)2
=
4
e1
2
+
e2
2
-4
e1
e2
=
4+1-4cos60°
=
3
,故正確;
②∵P(x1,y1),Q(x2,y2),∴
OP
=(x1,y1)
,
OQ
=(x2,y2)
,∴
OP
+
OQ
=(x1+x2,y1+y2),故正確;
③若
OP
=(x1,y1),
OQ
=(x2,y2),則
OP
-
OQ
=(x1-x2,y1-y2),故不正確;
④若θ=600,以O為圓心,1為半徑的圓滿足|
OP
|=1
,設P(x,y),則
(x
e1
+y
e2
)2=1
,化為x2+y2+2xycos60°=1,化為x2+y2+xy-1=0.
故滿足條件的圓的斜坐標方程為x2+y2+xy-1=0.正確.
綜上可知:只有①②④正確.
點評:正確理解斜坐標系定義和掌握數(shù)量積得運算公式是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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幸福指數(shù)評分值 頻數(shù) 頻率
[50,60] 1
(60,70] 6
(70,80]
(80,90] 3
(90,100] 2
(Ⅰ)請完成題目中的頻率分布表,并補全題目中的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)該部門將邀請被問卷調查的部分居民參加“幸福愿景”的座談會.在題中抽樣統(tǒng)計的這20人中,已知幸福指數(shù)評分值在區(qū)間(80,100]的5人中有2人被邀請參加座談,求其中幸福指數(shù)評分值在區(qū)間(80,90]的僅有1人被邀請的概率.

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17

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經過(1,1)與(
6
2
3
2
)兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|.求證:
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
為定值.

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