Question

已知函數(shù)，；
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
(3)令，是否存在實數(shù)，當(dāng) (是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)的取值范圍是；(3) 存在使得當(dāng)時，有最小值．

解析試題分析：（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)的，分別解不等式和，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可得在上恒成立，考查函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值：在上恒成立，列不等式求參數(shù)的取值范圍；（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得有最小值3，寫出函數(shù)的表達式，求導(dǎo)函數(shù)，分，，三種情況討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最小值是3，即可求出實數(shù)的值．
試題解析：（1）當(dāng)時，，由，得

故其單調(diào)遞減和遞增區(qū)間分別是.               3分
（2）在上恒成立          5分
令，，∴在上恒成立，
∴得，∴                .8分
（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得有最小值3，
           9分
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
∴(舍去)          10分
②當(dāng)，即時，在上，；在上，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足條件．
③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，（舍去）．
綜上所述，存在使得當(dāng)時，有最小值．
考點：1．導(dǎo)數(shù)的運算；2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．