Question

在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（I）設平面PAB∩平面PCD=m，求證：CD∥m；
（II）求證：BD⊥平面PAC；
（III）若E是PA的中點，求四面體PBEC的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB∥CD，CD?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB．…（2分）
∵CD?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，
∴CD∥m．…（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥PA，
Rt△ABD中，tan∠ABD==；Rt△ACD中，tan∠DAC==
∴tan∠ABD=tan∠DAC，結合∠ABD、∠DAC都是銳角，
得∠ABD=∠DAC=90°-∠ADB
∴∠DAC+∠ADB=90°，得BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（8分）
（ III）過點C作CM⊥AB于M，
∵PA⊥平面ABCD，CM⊆平面ABCD，∴CM⊥PA
∵CM⊥AB，PA、AB是平面PBE內(nèi)的相交直線
∴CM⊥面PBE，
∵，且CM=
∴四面體PBEC的體積為：…（12分）
分析：（I）根據(jù)線面平行的判定定理，可得CD∥平面PAB．再線面平行的性質(zhì)，可得CD∥m；
（II）利用平面幾何知識，證出BD⊥AC，結合PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，根據(jù)線面垂直的判定定理，得BD⊥平面PAC；
（III）過點C作CM⊥AB于M，根據(jù)線面垂直的判定定理結合已知條件，可證出CM⊥面PBE，從而CM是三棱錐C-PBE的高，再算出△PBE的面積，結合錐體體積公式可算出四面體PBEC的體積．
點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面平行和線面垂直，并求四面體的體積，著重考查了空間的線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．