Question

設數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n．已知a₁=6，a_n+1=3S_n+5ⁿ，n∈N^*．
（1）設b_n=S_n-5ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項，它們構成等差數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，可得Sn+1=4Sn+5n，把Sn=bn+5n代入，可得數(shù)列{b_n}是首項為b₁=S₁-5=1，公比為4的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）假設數(shù)列{b_n}中存在任意三項a_i，a_j，a_k成等差數(shù)列，利用數(shù)列{b_n}單調遞增，建立等式，即可得出結論．

解答： 解：因為a_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，所以Sn+1=4Sn+5n，…（2分）
把Sn=bn+5n代入得b_n+1=4b_n，…（3分）
所以數(shù)列{b_n}是首項為b₁=S₁-5=1，公比為4的等比數(shù)列，所以bn=4n-1．…（5分）
（2）假設數(shù)列{b_n}中存在任意三項a_i，a_j，a_k成等差數(shù)列．…（6分）
不妨設i＞j＞k≥1，由于數(shù)列{b_n}單調遞增，所以2a_j=a_i+a_k，所以2•4^j-1=4^i-1+4^k-1，…（9分）
因此2•4^i-k=4^j-k+1，此時左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立，…（13分）
所以數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項，它們構成等差數(shù)列．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．