Question

已知函數(shù)．
（1）求證不論為何實數(shù)，總是增函數(shù)；
（2）確定的值，使為奇函數(shù)；
（3）當為奇函數(shù)時，求的值域.

Answer 1

（Ⅰ）見下（Ⅱ）(Ⅲ)

試題分析：(1)函數(shù)的單調(diào)性的證明有兩種基本的方法.一是定義法；而是利用導數(shù).在目前階段，我們只能用定義來證明函數(shù)的單調(diào)性.即分三個步驟：①設(shè)值②作差③比較差值與0的關(guān)系.（2）作為奇函數(shù)，滿足，可求得的值.(Ⅲ)求函數(shù)的值域，根據(jù)函數(shù)解析式的特點，有各種不同的方法，一般有直接觀察法、換元法、單調(diào)性法、判別式法、圖像法等.本題中函數(shù)值域的求得較為簡單，用直接觀察法即可.
試題解析（1）∵的定義域為R，任取
則
∵∴，
∴即
∴不論為何實數(shù)總為增函數(shù)，                     6分
（2）∵為奇函數(shù)，∴
即 解得                      8分
（3）由（2）
∵∴  ∴
∴
∴的值域為                              12分