Question

橢圓（a＞b＞0），直線y=k（x-1）經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與其相交于點(diǎn)M，N，且點(diǎn)在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）確定橢圓的焦點(diǎn)，利用點(diǎn)在橢圓C上，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（II）直線y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，確定MN垂直平分線方程，|MN|，可得P的坐標(biāo)，從而可得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），
又∵點(diǎn)在橢圓C上，
∴
∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為；
（II）存在，
直線y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
∴
∴MN垂直平分線方程為
令y=0，可得x=
∴P（，0），
設(shè)Q（a，0），則|PQ|=
∵|MN|==，
∴=
∴a=7時(shí)，=
∴Q（7，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．